Comment savoir si une fonction est uniformément continue ou non ?

Comment savoir si une fonction est uniformément continue ou non ?

3. Montrer que la fonction f(x) = x2 n'est pas uniformément continue sur [0, +∞[. 1. On écrit la négation de l'uniforme continuité ∃ε0 > 0 tq ∀α > 0, ∃x, y ∈]0, 1]; |x − y| ≤ α et |f(x) − f(y)| > ε0.

Qu'est-ce que la continuité d'une fonction ?

En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).

Comment montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue ?

f est lipschitzienne s'il existe un k > 0 tel que f soit k-lipschitzienne. Une fonction lipschitzienne est continue. En effet, étant donnés un a ∈ X et un ϵ > 0, on peut prendre δ = ϵ/K.

Comment montrer qu'une fonction est Lip ?

Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée. Toute fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne. Par conséquent, toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne.

Comment on étudie la continuité d'une fonction ?

On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).

Comment justifier la continuité d'une fonction sur un intervalle ?

Théorème 2. Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R et g une fonction définie sur un intervalle J de R à valeurs dans K = R ou C telles que f(I) ⊂ J. Si f est continue sur I et g est continue sur J, alors g ◦ f est continue sur I.

Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?

Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée. Toute fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne. Par conséquent, toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne.

Comment prouver qu'une fonction est contractante ?

ainsi pour vérifier que f est contractante, on étudie la valeur absolue de f' sur I, il suffit de montrer que cette valeur absolue est strictement inférieure à un réel k < 1 pour conclure (il faut donc chercher le maximum de | f'| sur I.

Comment savoir si une fonction est lipschitzienne ?

Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée. Toute fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne. Par conséquent, toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne.

Comment savoir si une fonction est bornée ?

Une fonction à valeurs réelles est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.